nachdem ich gerade eine verkorkste Mathe-abiklausur hinter mir hab
ist das schon ne etwas leichtere Übung ^^.
f(x)=x³-6x²+9x-2
f'(x)= 3x²-12x+9
f''(x)= 6x-12
f'''(x)= 6
Die Extrema (Hochpunkte und Tiefpunkte) errechnen sich folgendermaßen:
f'(x) = 0 UND f''(x) ungleich 0
Tiefpunkt f''(x) > 0 ; Hochpunkt f''(x) < 0
3x²-12x + 9 = 0 | /3 <=> x² - 4x + 3 = 0
pq-Formel zum lösen quadratischer Funktionen dürfte bekannt sein :
1x²+px+q=0
x1,2 = -p/2 +- Wurzel aus (p/2)² -q
man bekommt also x1,2 = 2+- wurzel aus 4-3 => x1 = 3 ; x2= 1
jetzt musst du schauen ob das hinreichende Kriterium auch zutrifft:
6(3)-12 > 0 daher Tiefpunkt an der stelle 3 y-koordinate durch einsetzten in f(x) : 3³-6*3²+9*3-2 = 27-54+27-2 = -2
Tiefpunkt : (3/-2)
6(1)-12 < 0 daher Hochpunkt an der stelle 1 "" "" 1³-6*1²+9*1-2 = 1-6+9-2=2 Hochpunkt: (1/2)
Die Wendestellen bzw. Sattelpunkte errechnen sich ähnlich. Bedingung dafür wäre :
f''(x)=0 UND f'''(x) ungleich 0
kannste ja jetzt selber machen wenn du willst ^^.